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root3のつぶやき
root3が日常生活(主にゲームの話と、TGA、NLでの活動)を綴っていくブログ。twitterとは関係ない(twitterもやってますが)。最近は専ら音ゲー。
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ナベアツの数学
ふー眠い眠い。

我が家に簡素な空気清浄機がやって来ました。
せっかくなので常時稼動させて風邪を引かないようにしよう。

今日のゲームネタは前の記事で書いてしまったので、たまには数学科らしく数学の話を書こうかな。
きっかけはこのツイート

「ナベアツは1から10進数で自然数を数え、3の倍数と3のつく数字でアホになる。
ナベアツは充分大きな数を数えるときほとんどいたるところでアホになるが、ナベアツがアホになる確率は収束するか。ε-δ論法を用いて答えよ」(原文ママ)


いろいろ突っ込みたい部分はあるんですが(「ナベアツはランダムに数字を読み上げているわけじゃないのに"確率"とは何か」とか、「"ほとんどいたるところで"とあるがどういう集合にどういう測度を入れて"ほとんどいたるところ"と言っているのか(少なくとも数え上げ測度ではないはず)」とか)、骨組みだけ取り出すとこういう事でしょう。

『a(n)を、n以下の自然数で"3の倍数または10進数表記で3を含む数字の個数"とする。このときa(n)/nは1に収束するか?』

具体例を交えてみると……

例えば、10以下の自然数で3の倍数または3を含む数字は3個(3,6,9)あります。よって、全体に対するその個数の割合は3/10=0.3となります。

50以下で同じ事を考えると、個数は25個(3,6,9,12,13,15,18,21,23,24,27,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,42,43,45,48)なので、割合は25/50=0.5。

100以下で同じ事を考えると、個数は45個なので、割合は45/100=0.45。

……なんか収束するような、しないようなって感じですね。

これが実は収束するんですよね、っていうのがこの問題。


で、考えてみました(面倒なのでε-δは使っていませんが……)。示せました。確かに1に収束しました。もしかしたら違うかもしれませんけどね!

ただ、それを全部書くと大変なことになるので概略だけ。

1:3の倍数は定期的にやってくるだけ(割合としては1/3)ので、割合が1に収束するのならそれは"3を含む自然数の個数"の方に依るはず。というわけで、3を含む自然数の個数で下から評価してそれが1に収束することを示せば十分。

2:もし自然数nがa*10^Nという形(10,200,3000,40000など)の個数を下から評価する。

3:2で考えたnの形を拡張して、a*10^N+b*10^(N-1)という形(12,340,5600,78000など)の個数を下から評価する。

4:3の考え方を帰納的に用いて、一般の自然数nについて下から評価する(これをA(n)とおく)。

5:A(n)/nが1に収束することを示す。

面倒なことをしていますけど、直感的にはとても簡単なことで、
桁数が増えれば増えるほど3が入っている可能性は大きくなり、3を含まないものはほとんどなくなってしまう
ということです。
ランダムに0~9の自然数を生成して並べていけば任意の桁の自然数が作れますが、いずれかは必ず3が出てきますよね(もちろんずっと3以外の数字が出てくるという可能性はあるんですが、もし自然数の生成を無限に続ければその確率は0に収束します)。すると、その自然数はナベアツがバカにならなければいけない自然数なわけです。


まあ、ナベアツも人間なのでそんな大きな自然数まで読み上げるってことはありえないんですけどね(
そういえばあの人最近全然見ないけど何をしているんだろう。
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コメント
コメント
数学科・・・!(´・ω・`)
すごいですね><

るーとさんは人間ですか?
それとも私が人間じゃないのでしょうか・・・
酷く不安になってきました((((・Д・))))
2012/07/13(金) 15:02:16 | URL | Pom #gScP2Les [ 編集 ]
いやいや、お互い人間ですよw
実際のところ、僕の専攻とはあんまり関係ないんですけどね!
2012/07/14(土) 02:26:34 | URL | root3 #- [ 編集 ]
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